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實驗設計與分析

Breanna來自:廣東省 韶關市 曲江區 時間:2020-03-13 11:49 坐標: 1575°

精選的實驗設計與分析

最近有同事詢問Plackett–Burman design是啥意思,我不好意思說不知道,假笑片刻就說試驗設計博大精深,我用的一般是正交試驗跟響應面,PB設計可能是其中某種的簡化,反正到頭來都是方差分析云云給糊弄過去了;剡^頭來自然就是一通查資料挖墳,然后就挖到了《Statistics for experimenters》這本奇書。作者是 George E. P. Box,Fisher的女婿,而且下面這句就出自這本書的第二版:

試驗設計與分析

試驗設計一般是面向高年級本科生與研究生開的課程,但講的都比較抽象。什么隨機化、均勻性什么的道理都明白,但真到科研里面基本還是要依賴查表與軟件分析。也正是因為如此很多人都是照葫蘆畫瓢來做,軟件告訴哪個好就用哪個,在這種情況下軟件實際充當了水晶球,你信就是了。

《Statistics for experimenters》的第一章是值得所有試驗學科人讀一下的,因為George Box 在第一章里沒有扯什么隨機化、均勻性,而是聊了下認識論。開篇第一句就是“知識就是力量”,解決問題實際就是一個認識模型演進的過程。具體來說是一個歸納-演繹不斷往復的過程,數據起了中介作用。例如下面這個認識過程:

(模型)每天都一樣

(演繹)今天車會停在原位

(數據)車不在

(歸納)有人偷車

(模型)車丟了

(演繹)車不在原位

(數據)車又回來了

(歸納)有人偷了車還回來了

不得不說我還是頭一回發現認知過程可以這樣描述的,具體到試驗,這個過程就成了(模型)想法 ->(演繹)實驗設計 ->(數據)結果分析 ->(歸納)結論或新想法。這大概是試驗設計能上升到的最高理論高度了。

好了,不扯了,這本書非常適合讀,但并不適合練。因為作者雖然用了很多很直觀的解釋方法讓讀者明白原理,但并未涉及軟件層面。當然,提供代碼也是最近才開始在技術書籍中流行的,這本書描繪了一個清晰的試驗設計與分析框架,而我下面說的是結合R的一些從問題視角的實戰。

現實生活中需要試驗設計的場景一般都是多因素多水平尋優問題,翻譯成人話就是

y=f(x)中,y代表了你期望最優的東西,x代表了會對y產生影響的自變量,如果你的問題可以抽象成 y=f(x),那就可以通過構建模型來解決。試驗設計主要關心的是方差分析這個視角,簡單說就是y的變異可以拆分成不同x之間的獨立變異或交互作用的線性組合。通過方差分析可以找到對y影響最大的x或所有x的影響方式,了解了影響方式,尋優什么的就比較簡單了。

一般而言,想找出多因素的最優組合,第一步是要確定哪些因素重要而哪些因素不重要,這是PB設計的應用場景。在不考慮交互作用的前提下,通過PB設計的表頭進行兩水平試驗,然后進行方差分析并可視化就可以篩選出重要因素了。PB設計的試驗次數一定是4的倍數,而且最大適合因子數會比試驗次數少1。打個比方,我打算找出9個因素中哪個影響目標最大,那么我的試驗次數至少選12,下面是個演示,這里我們使用 FrF2包:

suppressMessages(library(FrF2))pb(12,nfactors = 9)## A B C D E F G H J## 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1## 2 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 1## 3 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1## 4 -1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1## 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1## 6 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1## 7 1 -1 1 1 -1 1 1 1 -1## 8 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1## 9 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1## 10 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1## 11 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1## 12 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1## class=design, type= pb

這里面1與-1分別代表兩個水平,當然試驗設計牽扯到分辨率問題,可以理解為對該試驗設計的評價,分辨率高,能區分的影響就更細致,可以用FrF2包中的GR函數來計算。需要注意的是,FrF2包也可以用 FrF2 函數來進行兩水平試驗設計,這里是分辨率高時是可以考察交互作用的。

那么當你收集了數據,該如何分析呢?FrF2包實際繼承了 DoE.base 包的S3對象類型,你只需要用 add.response 增加你的試驗結果到設計出的S3對象上,然后就可以用方差分析或線性回歸進行分析了。結果同樣可以用MEPlot函數來進行可視化。當然,也可以用halfnormal函數來評價因子影響。

plan.annotated <- pb(12,nfactors = 9)response <- c(35, 36, 38, 39, 37, 36, 39, 37, 41, 32, 42, 37)plan.resp <- add.response(plan.annotated, response)MEPlot(plan.resp, abbrev = 5, cex.xax = 1.6, cex.main = 2)

試驗設計與分析

summary(lm(plan.resp))## Number of observations used: 12 ## Formula:## response ~ A + B + C + D + E + F + G + H + J## ## Call:## lm.default(formula = fo, data = model.frame(fo, data = formula))## ## Residuals:## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ## -0.667 0.500 0.500 0.667 -0.667 0.667 -0.500 -0.500 -0.667 -0.500 ## 11 12 ## 0.667 0.500 ## ## Coefficients:## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 37.417 0.417 89.8 0.00012 ***## A1 0.917 0.417 2.2 0.15881 ## B1 -0.250 0.417 -0.6 0.60943 ## C1 1.250 0.417 3.0 0.09547 . ## D1 -0.417 0.417 -1.0 0.42265 ## E1 -0.417 0.417 -1.0 0.42265 ## F1 -0.750 0.417 -1.8 0.21367 ## G1 -0.417 0.417 -1.0 0.42265 ## H1 -1.583 0.417 -3.8 0.06280 . ## J1 -0.417 0.417 -1.0 0.42265 ## ---## Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1## ## Residual standard error: 1.44 on 2 degrees of freedom## Multiple R-squared: 0.947, Adjusted R-squared: 0.71 ## F-statistic: 3.99 on 9 and 2 DF, p-value: 0.217

在這里PB設計實際上是一種預選法,如果結果顯示某些變量影響顯著,那么事實上就可以針對這些變量進行進一步的精細篩選,其余的變量可以直接固定為一個水平進行進一步設計。PB法在工業屆用的比較多,但你應該想到了,如果只是進行變量選擇,為啥不用隨機森林或lasso?其實都可以,但這些方法不是設計而更多是數據分析通用方法,設計上除了最重要的隨機性也是要考慮各因子貢獻或者說重復數盡量平衡些的,否則會過分偏重某個因子,或者干脆配對或組成區組。像這樣不做預設去設計對各個因子都公平,如果有預設或現實條件不允許,也可以裂區設計。

當選出重要因素時,下一步常見是正交試驗或響應面分析,用來優選參數。正交表這玩意我在書中沒找到,文獻里用得多的也是亞洲人,老外統一用析因試驗來進行考察。其實正交表的設計原理就是用盡量少的步驟遍歷掉因子空間,這樣進行一定次數試驗就可以發現最優組合。R中的實現基本都在DoE.base 包里,這個包內置了一堆可以直接調用的正交表,可以根據需求進行查詢。例如我有6個因素,水平數分別是2,3,3,2,2,6,然后我只打算做不超過54次試驗,這時可以直接調用show.oas函數進行查詢,給出的正交表隨意選一個就可以繼續。

show.oas(nruns = c(0, 54), nlevels = c(2, 3, 3, 2, 2, 6), showmetrics = TRUE)## no suitable resolution IV or more array found## 5 orthogonal arrays found## name nruns lineage GR GRind regular SCones A3 A4## 78 L36.2.13.3.2.6.1 36 3.00 3.00 FALSE 6 45.3 158.4## 81 L36.2.10.3.8.6.1 36 3.18 3.18 FALSE 0 130.3 737.2## 83 L36.2.9.3.4.6.2 36 3.00 3.00 FALSE 17 82.3 338.2## 87 L36.2.3.3.9.6.1 36 3.18 3.00 FALSE 12 73.8 300.2## 88 L36.2.3.3.2.6.3 36 3.00 3.00 FALSE 37 35.6 73.1## A5 A6 A7 A8## 78 426 1010 1753.2 2306.8## 81 3063 11096 31380.8 68828.1## 83 1025 2828 5507.5 7780.0## 87 912 2404 4354.2 5793.4## 88 120 125 63.5 13.9

這里我們選分辨率略高的L36.2.10.3.8.6.1,從名字上看,這是一個36次試驗表,可以包含10個兩水平,8個三水平與1個六水平因子,這也是唯一一個分辨率高于3,可以排除交互作用的設計方法。這里我反復提到分辨率,實際上就是一種考察試驗設計合理性的指標,分辨率3一般指只能區分沒有交互作用的各因子貢獻差異,高于3就可以區分一定的因子交互作用,可以用GR去計算一個廣義分辨率并用oa.design來進一步優化這個設計,因為其實符合正交表只是眾多選擇的一個子集,不過根據優化方法的不同,優化時間也不太一樣。

oa.design(L36.2.10.3.8.6.1, nlevels = c(2, 3, 3, 2, 2, 6), columns = min34)## A B C D E F## 1 1 2 3 1 1 1## 2 1 2 2 2 2 2## 3 2 1 2 1 2 4## 4 1 1 3 1 2 2## 5 2 2 1 2 1 5## 6 2 2 3 1 1 2## 7 1 2 1 1 2 4## 8 2 2 2 2 1 4## 9 2 2 1 2 2 3## 10 2 3 2 2 2 5## 11 1 1 2 1 1 5## 12 2 3 2 2 1 1## 13 2 1 1 2 1 2## 14 1 1 1 2 2 6## 15 1 1 1 1 1 1## 16 1 2 1 2 1 6## 17 1 1 2 2 2 3## 18 2 3 1 1 2 2## 19 1 3 1 2 2 1## 20 2 1 3 2 2 1## 21 1 3 1 1 1 3## 22 1 3 3 1 1 5## 23 2 1 1 1 2 5## 24 2 1 3 2 1 3## 25 1 3 2 1 2 6## 26 1 2 3 2 2 5## 27 1 1 3 2 1 4## 28 2 2 2 1 2 1## 29 1 3 2 2 1 2## 30 2 3 3 2 1 6## 31 1 3 3 2 2 4## 32 2 2 3 1 2 6## 33 2 3 3 1 2 3## 34 2 1 2 1 1 6## 35 1 2 2 1 1 3## 36 2 3 1 1 1 4## class=design, type= oa

使用這個函數你就不用費力去套正交表了,直接可以用輸出的設計方案,記得要說明你的分辨率優化方案。如果你堅持套正交表,一定要理解如何去套,因為正交表的排列是很講究的,特別是你要考慮交互作用的影響。如果一個表最多14個因子而你就設計了14個因子,那么分辨率不會超過3。正交設計的分析與前面PB設計是一致的,都是沿用添加響應,然后方差分析或線性分析隨意來就是了,DoE.base 包為design這個對象類型設置了lm與aov方法。

在進行數據分析時,有時會遇到方差分析與線性回歸的區別問題,打比方你用線性回歸來做分析,會有審稿人問你lack of fit檢驗有沒有做。這個檢驗實質上也是個F檢驗,用來衡量線性模型之外殘差里分組變異與純誤差變異的比值,如果分組變異還是比較大,那么線性假設可能就不合理。

不過,目前試驗設計結果分析更精細的會用響應面分析。顧名思義,響應面有點梯度下降迭代尋優的意思,而且如果是曲面通?紤]了二階甚至更高階的交互作用。在R中的實現是通過 rsm 包來進行的,這個包也是囊括了設計與分析兩個部分,設計部分也有常見的 Box-Wilson Central Composite Designs 與Box-Behnken designs,分析部分自然還是基于lm的。同樣,對于CCD設計,也提供了ccd.pick來選擇好的設計,這里好自然意味著一些表征設計均衡的統計量。因為rsm 包小品文寫的很清楚了,我就略過演示了。如果你面臨多響應同步優化問題,那么desirability包考慮一下有沒有,這個包其實是定義了一個多響應的聯合滿意度作為目標統計量,然后用響應面分析進行尋優,對于組學研究是有啟發的。另外說個小八卦,狹義正交表也就是田口設計其實最初是兩響應優化,只不過另一個響應是無法控制的噪音,田口搞了個信噪比來解決問題,熟悉了這套統計量構建策略,你也應該能做到根據實際情況構建指標體系。

其實試驗設計分析是可以用所有符合y=f(x)的模型來操作的,說白了就是參數尋優。但試驗設計更獨特的點就在設計上,更廣義地講,A/B測試等純計算試驗也可以套用試驗設計原理,這里要區分清楚設計與分析,設計不合理,分析會很頭痛。如果再擴展些,觀察研究的試驗設計相比控制實驗更關注配對或策略抽樣?傊囼炘O計并不是什么水晶球,其原則從來都很清楚,只是后來流派出的太多,術語也越來越晦澀。然后你就會在網上看到哪個軟件能做哪個分析的討論了,其實這情況在工科可能更嚴重些,例如混料配比的三角坐標系設計就完全是另一套,不過萬變不離其宗,說白了還是個響應面分析。

現在回過頭來看,似乎我打圓場的話也沒啥錯…

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以下是的一些我們精選的淺析房地產拿地階段強排方案設計基礎知識

強排方案的主要目的是成本及利潤率,通過設計的手段去了解土地可以開發的最大強度,而非是在這一階段去體現設計理念。下面是小編帶來的淺析拿地階段強排方案設計基礎知識。

實驗設計與分析:淺析拿地階段強排方案設計基礎知識

    一、強排方案基礎知識

    當公司對一塊土地有意向想要拿取的時候,公司各個部門需配合進行一個土地經濟測算,測算完成后將作為公司是否最終拿取土地的重要依據之一,而強排方案就是其中一個重要的測算環節,該環節主要由公司內的設計部完成。

    1、強排的概念

    初步強排指在做滿容積率,滿足建筑密度、房屋間距和日照要求的前提下,通過尋找多種建筑業態組合方案以尋求開發利益最大化的最優解。

    2、初步強排一般包含以下設計內容:

    當上述設計工作完成后,設計部將拿著工作內容與營銷部、成本部進行下一階段的工作對接。

    二、強排方案及指標測算

    1、強排方案的方法

    強排方案的主要目的是為了測算項目成本及利潤率,通過設計的手段去了解土地可以開發的最大強度,而非是在這一階段去體現設計理念。

    2、指標測算

    在強排階段,設計輸出圖紙之外的另一個重要內容就是規劃指標,其中規劃指標中有幾項重要指標內容:總建筑面積、地上建筑面積、地下建筑面積,地上可售面積、地下可售面積、配套面積(此部分為地上計容但不可售面積)等,最后形成如下圖所示的數據表格,該表格最終成為成本部和財務部計算的依據。

    因為在強排階段是不做地下室方案的,所以地下室面積就只能根據經驗及本地規范進行估算,估算方法一般分為二個步驟:

    步驟一:依據規劃條件或本地規范要求,可以根據地上建筑面積估算出地下所需的車位數量;

    步驟二:每個車位所占面積以35平方米計算(這個就是屬于經驗值估算)

    三、強排的常見錯誤

    不重視周邊環境分析:很多強排設計師拿到強排資料到最終出強排設計成果都從未到過土地現場進行踏勘調研,只是通過網絡、地形圖等方式對土地進行一定的了解,但是往往有很多重要影響方案設計的因素就忽視了。有很多不利因素只能現場踏勘才能切實體會,如噪音、臭水溝、鐵路、火葬場、高壓線、溝渠等;同樣有很多有利因素也只能現場才能體會得到,如綠化帶、河流景觀面、土地周邊配套、地塊人流量等。

    四、結語

    強排方案只是在拿取土地過程中最初淺的設計手段,目的是為了讓公司內各個部門對于將要獲取的土地有個初步認識,公司對土地有了初步認知后才能做出是否獲取土地的正確判斷,這就是強排方案的最終目的。

 

最新淺析房地產拿地階段強排方案設計基礎知識可以看看這篇名叫高等數學基礎知識的文章,可能你會獲得更多淺析房地產拿地階段強排方案設計基礎知識

我們找到第193篇與高等數學基礎知識有關的信息,分別包括:

以下是的一些我們精選的高等數學基礎知識

高等數學是培養和造就各類高層次專門人才的一門重要的基礎必修課。其在培養學生的基本運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力以及解決實際問題的能力的同時,也為后續課程的學習奠定必不可少的數學基礎,為學生以后從事專業技術工作奠定數學基礎。高等數學中的差生主要是指數學基礎差,在期末考試很容易不及格的學生,對這部分學生的培養一直以來都是縈繞在高校教師和校領導心頭的難題。

從學生角度來看,高等數學是通識課程,為大學前兩個學期所學習,考試一旦不及格,勢必會影響后續 課程的學習,同時還會影響整個大學的學習熱情;從教育者角度看,這部分學生人數眾多,有很多學生因為數學不及格而無法畢業,各個高校領導和教師都已經采取各種措施來應對這一情況。要想從根本上減少數學基礎稍差、有可能在期末考試不及格學生的數量,我們需要深究這部分學生考試有可能不及格的原因。在漢斯出版社的《教育進展》中的論文深刻的分析了其中的原因,主要有以下幾點:

1)大學生從中學到大學的心理突變。學習高等數學的兩個學期在大學一年級,這一年剛好是他們入 大學的第一年,大家在心理上一般都要經歷入學初的興奮期、第一學期期中至期末的失衡期、第二學期 期初至期中的調整期以及之后的平穩期這樣四個時期。他們的基本心態大都是從興奮期的成為大學生的驕傲、自豪與得意,以及面對新學校、新老師和新同學等新環境的新奇和興奮;到后來失衡期的對中學 時代的光彩不復存在,對從昔日的佼佼者成為普通一員的“失寵”,以及對錄取專業與自己的理想、志向、興趣存在差異而失望、心有不甘;再到后來調整期的或者對自己的人生規劃有了重新認識,面對各種新問題的自我重新調整,抑或是對自己降低了要求、失去了斗志、放任自流;再到最后平穩期的大家各分千秋,沿著各自的軌道發展。

2)這一心理轉變時期,同時也是學習方法的轉變時期。相對于中學時代,大學期間的學習對學生本 人提出了更高的要求。中學時代是應試教育主導著整個的教學過程,學生唯一的目標是高考,分數幾乎是衡量一個學生好壞的唯一標準;而學校的主要工作實質就是培養考試能手,升學率則幾乎是衡量一個學校教學質量好壞的不二指標。這一教育理念使得學校過多地注重考試分數高低,而忽視了學生綜合素質和綜合能力的培養。老師家長“逼著”學生學習,幫忙尋找各種學習資源、參加各種高考輔導班,同樣的知識反復地講、重復地練,以便使學生能在高考中取得好成績,考入理想的學府。而一旦到了大學, 學生們會發現不再會有老師家長牽著鼻子走了,沒有人會逼著自己學習了,而且學習內容很多,特別是 高等數學,課上老師只講一遍,課后很難找到老師指導,一切都得靠自己。這時學生的綜合素質和綜合能力將會體現得淋漓盡致,若不能在這一時期好好把握,高等數學不及格的概率也就變得非常高。

3)重修、補考機會過多,不及格所付出的代價太低。一個學生從大一開始學習兩個學期的高等數學, 如果期末考試不及格,可以在下學期初參加相應的補考,若補考不及格,可以在大二至大四相應的學期 參加重修班,若重修還不及格,還可以參加相應的補考,即便這 8 次機會都沒有通過,學校會在學生畢 業前安排一次清欠考試。如此一來,一個學生總共有 9 次考試機會。很大一部分學生心里會想:機會這 么多,曠考、掛掉一次兩次也無所謂,反正到最后還有清欠考試,老師不會那么狠心不讓我畢業,所以 前面的考試都沒能夠加以重視。在這樣的心理作用下怎么可能考試及格?2005 年5月9日,教育部、國家發展和改革委員會、財政部印發了各省、自治區、直轄市人民政府《關于做好 2005 年高等學校收費工 作有關問題的通知》(教財[2005]10 號文件),文件明確規定學校不得向學生收取國家規定項目外的其他任何費用,如“補考費”、“重修費”等。于是,學生考試及格與否幾乎沒有嚴格的獎懲手段,這就造成重修、補考成本太低,有些學生會認為反正一次不及格僅僅損失一次考試機會,其它也損失不了太多,從而把重修、補考當成家常便飯。

4) 高等數學內容多、課時少。以南京郵電大學通達學院的工科高等數學(高等數學A)為例,內容包括微積分、解析幾何、復變函數等,而分配的課時是 80 + 96 = 176 課時。與高中的初等數學相比,由于高等數學的課時有限,任課教師不可能像中學教師那樣對一個知識點講一遍、練幾遍,只能無所重復地一遍講完。最后期末考試是學完即考,甚至連總復習的時間都沒有,因為第一學期授課計劃為第5周開課,第18周結課,而第 19~20 周為考試周。這樣一來,對于習慣了高中學習的大一新生而言,學習壓力會變得比較大,此時若自學能力稍差一點、數學基礎稍遜一點,高等數學也很容易不及格。

了解高等數學容易不及格的原因,有助于我們找到解決的措施,論文中的作者就提出對高等數學的分層次教學,例如差生班級成績在前 5%的同學可以升級到高層次的班級,高層次班級成績在后 5%的同學必須 降級到差生班級。這樣可以使學生有緊迫感,以最大限度地調動學生學習的積極性。只有重視高等數學分層次教學中差生的培養,才能全面提高教學質量,使得人人都能成才。

最新高等數學基礎知識可以看看這篇名叫數學知識點西師大版數學六上《圓的認識》(第3課時(2)教學設計-總結的文章,可能你會獲得更多高等數學基礎知識

圓的認識

第3課時

教學內容

教科書第19頁例4,課堂活動第1、2、3題,練習四思考題。

教學目標

1.進一步鞏固畫圓的方法,并能利用圓設計一些簡單的圖案。

2.通過不同圓的組合來畫出一些優美的圖案,讓學生感受圓的神奇及在圖案設計中的應用。

3.讓學生了解圓周可以近似地看成是由許多小線段組成,滲透極限的思想。

教學重點

利用畫圓的方法設計一些簡單的圖案。

教具、學具準備

圓規、直尺、課件,每個學生準備一張邊長12厘米的正方形白紙。

教學過程

一、欣賞圖案,引入新課

1.用課件出示一些由不同的圓組合而成的優美圖案,并發表自己的看法。

2.揭示課題:設計圖案。

二、動手操作,設計圖案

1.教學例4。

(1)觀察例4中的圖案,想一想這些圖案是怎樣畫出來的?

(2)同桌的同學互相說一說畫這些圖案的方法,教師用課件配合展示畫的步驟。

引導學生分析圖案,把圖案分解成幾個圓來分析。

第一步畫圓

第二步以大圓直徑的14畫兩個小半圓

第三步涂色

(3)學生再試著畫這些圖案,并涂上顏色。

(4)展示交流。

評價時引導學生關注作品是否美觀,并請學生介紹自己作品是怎么畫出來的。

2.第19頁下面部分:設計用線段繞成圓的圖案。

(1)同學們,你們都已經會畫圓了,畫圓時是用的什么來畫的?(圓規或者圓形物體)那用直線能畫出圓來嗎?

(2)讓學生觀察教材19頁中的正方形圖,思考:

A、每邊是怎樣等分的?每邊的數又是怎樣排列的?

B、每條線段連接的順序又是怎樣的?

讓學生獨立思考后,再反饋。

學生1:正方形的每邊平均分成了12份,上下兩邊分別用數1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1標注中間的點。左右兩邊分別用數6、5、4、3、2、1、2、3、4、5、6標注中間的點。

學生2:每條線段連接的順序是有規律的。相鄰兩條邊上相同數所標注的點用線段連接起來。如1←→1、2←→2、3←→3、4←→4、5←→5、6←→6。

(3)教師在黑板上進行必要的示范。

(4)學生獨立設計用直線繞成圓的圖案。(也可以選擇開課時老師提供的圖案)

第20頁課堂活動第2題。

3.小結(略)。

三、課堂活動,鞏固應用

高等數學基礎知識

1.課堂活動第1題。首先讓學生觀察第1題的圖案,想一想,這個圖案是怎樣畫出來的?然后再用顏色涂出喜歡的圖案。

2.課堂活動第3題。用圓規為主要工具,設計喜歡的圖案。學生可以根據自己的想象設計出喜歡的圖案,再展示交流,拓展學生的視野。

3.練習四思考題。

四、全課總結

今天我們運用圓的知識,學習了什么?你對數學有什么新的看法?

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